Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдём параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона

, (1.25)

где и известны - они вычисляются по выборке.

Значения этой функции вычисляют для середин частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при . На практике для упрощения вычислений функции , где i=1,2,…,k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины (Приложение В).

Для этого вычисляем значения

для i=1,2,…,k: (1.26)

Затем по таблице находим значение

: (1.27)

И после вычисляем функцию

: (1.28)

Функция φ(х) принимает наибольшее значение при x = X :

(1.29)

Если h мало и объём выборки n велик, то можно приближенно, достаточно близко определить вероятность того, что случайная величина Х

принадлежит интервалу [xi-1;xi), по формуле:

P , (1.30)

где - теоретическая вероятность.

Используем соотношение, связывающее теоретическую вероятность c теоретической частотой :

(1.31)

Тогда теоретические частоты определяются равенствами

(1.32)

Может оказаться, что теоретические частоты являются дробными числами, но число элементов выборки, попадающих в i-й интервал, всегда является целым числом. Поэтому округлим дробные теоретические частоты до целых значений с условием, чтобы сумма всех найденных теоретических частот была близка к n:

Если сумма теоретических вероятностей существенно ниже единицы, то надо построить дополнительные интервалы слева и справа от основного интервала [x0; xk). Для средних значений частичных интервалов, построенных слева и справа от интервала [x0; xk), вычислим значения теоретической плотности нормального распределения и теоретические частоты. Сумма для всех теоретических вероятностей должна быть близка к единице с точностью до нескольких знаков после запятой:

Другие материалы

Анализ производства продукции
Предприятия самостоятельно планируют свою деятельность на основе договоров, заключенных с потребителями продукции и поставщиками материально-технических ресурсов, и определяют перспективы развития исходя из спроса на производимую продукцию, раб ...

Технико-экономическое обоснование разработки газового месторождения
Система газоснабжения России - основополагающий элемент национальной экономики, от надежного и эффективного функционирования которого непосредственно зависит ее нормальная работа и жизнеобеспечение всех граждан России. Газовая отрасль занимает ...